Hyperperfect number
Type of natural number
title: "Hyperperfect number" type: doc version: 1 created: 2026-02-28 author: "Wikipedia contributors" status: active scope: public tags: ["divisor-function", "integer-sequences", "perfect-numbers"] description: "Type of natural number" topic_path: "general/divisor-function" source: "https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperperfect_number" license: "CC BY-SA 4.0" wikipedia_page_id: 0 wikipedia_revision_id: 0
::summary Type of natural number ::
In number theory, a k-hyperperfect number is a natural number n for which the equality n = 1+k(\sigma(n)-n-1) holds, where σ(n) is the divisor function (i.e., the sum of all positive divisors of n). A hyperperfect number is a k-hyperperfect number for some integer k. Hyperperfect numbers generalize perfect numbers, which are 1-hyperperfect.
The first few numbers in the sequence of k-hyperperfect numbers are 6, 21, 28, 301, 325, 496, 697, ... , with the corresponding values of k being 1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, ... . The first few k-hyperperfect numbers that are not perfect are 21, 301, 325, 697, 1333, ... .
List of hyperperfect numbers
The following table lists the first few k-hyperperfect numbers for some values of k, together with the sequence number in the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) of the sequence of k-hyperperfect numbers:
::data[format=table title="class="nowrap" | List of some known {{mvar|k}}-hyperperfect numbers"]
| k | k-hyperperfect numbers | OEIS | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 10 | 11 | 12 | 18 | 19 | 30 | 31 | 35 | 40 | 48 | 59 | 60 | 66 | 75 | 78 | 91 | 100 | 108 | 126 | 132 | 136 | 138 | 140 | 168 | 174 | 180 | 190 | 192 | 198 | 206 | 222 | 228 | 252 | 276 | 282 | 296 | 342 | 348 | 350 | 360 | 366 | 372 | 396 | 402 | 408 | 414 | 430 | 438 | 480 | 522 | 546 | 570 | 660 | 672 | 684 | 774 | 810 | 814 | 816 | 820 | 968 | 972 | 978 | 1050 | 1410 | 2772 | 3918 | 9222 | 9828 | 14280 | 23730 | 31752 | 55848 | 67782 | 92568 | 100932 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 6, 28, 496, 8128, 33550336, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 21, 2133, 19521, 176661, 129127041, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 325, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1950625, 1220640625, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 301, 16513, 60110701, 1977225901, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 159841, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 10693, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 697, 2041, 1570153, 62722153, 10604156641, 13544168521, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1333, 1909, 2469601, 893748277, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 51301, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 3901, 28600321, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 214273, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 306181, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 115788961, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 26977, 9560844577, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1433701, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 24601, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 296341, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2924101, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 486877, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 5199013, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 10509080401, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 275833, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 12161963773, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 96361, 130153, 495529, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 156276648817, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 46727970517, 51886178401, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1118457481, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 250321, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 7744461466717, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 12211188308281, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1167773821, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 163201, 137008036993, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1564317613, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 626946794653, 54114833564509, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 348231627849277, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 391854937, 102744892633, 3710434289467, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 389593, 1218260233, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 72315968283289, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 8898807853477, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 444574821937, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 542413, 26199602893, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 66239465233897, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 140460782701, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 23911458481, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 808861, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2469439417, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 8432772615433, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 8942902453, 813535908179653, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1238906223697, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 8062678298557, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 124528653669661, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 6287557453, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1324790832961, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 723378252872773, 106049331638192773, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 211125067071829, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1345711391461, 5810517340434661, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 13786783637881, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 142718568339485377, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 154643791177, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 8695993590900027, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 5646270598021, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 31571188513, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 31571188513, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1119337766869561, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 52335185632753, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 289085338292617, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 60246544949557, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 64169172901, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 80293806421, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 95295817, 124035913, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 61442077, 217033693, 12059549149, 60174845917, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 404458477, 3426618541, 8983131757, 13027827181, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 432373033, 2797540201, 3777981481, 13197765673, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 848374801, 2324355601, 4390957201, 16498569361, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2288948341, 3102982261, 6861054901, 30897836341, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 4660241041, 7220722321, 12994506001, 52929885457, 60771359377, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 15166641361, 44783952721, 67623550801, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 18407557741, 18444431149, 34939858669, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 50611924273, 64781493169, 84213367729, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 50969246953, 53192980777, 82145123113, ... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| :: |
It can be shown that if k 1 is an odd integer and p = \tfrac{3k+1}{2} and q = 3k+4 are prime numbers, then is k-hyperperfect; Judson S. McCranie has conjectured in 2000 that all k-hyperperfect numbers for odd k 1 are of this form, but the hypothesis has not been proven so far. Furthermore, it can be proven that if p ≠ q are odd primes and k is an integer such that k(p+q) = pq-1, then pq is k-hyperperfect.
It is also possible to show that if k 0 and p = k+1 is prime, then for all i 1 such that q = p^i - p+1 is prime, n = p^{i-1}q is k-hyperperfect. The following table lists known values of k and corresponding values of i for which n is k-hyperperfect:
::data[format=table title="class="nowrap" | Values of {{mvar|i}} for which {{mvar|n}} is {{mvar|k}}-hyperperfect"]
| k | Values of i | OEIS | 2 | 4 | 6 | 10 | 12 | 16 | 18 | 22 | 28 | 30 | 36 | 40 | 42 | 46 | 52 | 58 | 60 | 66 | 70 | 72 | 78 | 82 | 88 | 96 | 100 | 102 | 106 | 108 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2, 4, 5, 6, 9, 22, 37, 41, 90, 102, 105, 317, 520, 541, 561, 648, 780, 786, 957, 1353, 2224, 2521, 6184, 7989, 8890, 19217, 20746, 31722, 37056, 69581, 195430, 225922, 506233, 761457, 1180181, ... | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 5, 7, 15, 47, 81, 115, 267, 285, 7641, 19089, 25831, 32115, 59811, 70155, 178715, ... | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 2, 3, 6, 9, 21, 25, 33, 49, 54, 133, 245, 255, 318, 1023, 1486, 3334, 6821, 8555, 11605, 42502, 44409, 90291, 92511, 140303, ... | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 3, 17, 23, 79, 273, 2185, 4087, 5855, 17151, ..., 79133, ... | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 2, 4, 5, 6, 13, 24, 64, 133, 268, 744, 952, 1261, 5794, 11833, ... | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 11, 21, 127, 149, 469, 2019, 13953, 21689, 25679, ..., 81417, ... | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 3, 4, 5, 7, 10, 12, 22, 52, 65, 125, 197, 267, 335, 348, 412, 1666, 1705, 3318, 11271, ..., 37074, ..., 61980, ..., 69025, ... | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 17, 61, 445, 4381, 15041, 17569, ... | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 33, 89, 101, 2439, 4605, 5905, 21193, 24183, ... | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 3, 5, 29, 103, 106, 174, 615, 954, 1378, 5622, 6258, 8493, 13639, 14891, ..., 26243, ..., 31835, ..., 59713, ..., 78759, ... | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 67, 95, 341, 577, 2651, 11761, ... | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 3, 5, 55, 161, 197, 1697, 11991, 32295, 57783, ... | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 4, 6, 42, 64, 65, 1017, 3390, 3894, 8904, 12976, 63177, ... | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 5, 11, 13, 53, 115, 899, 2287, 47667, ... | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 21, 173, 2153, 11793, ... | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 11, 117, 21351, ... | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 5, 13, 24, 42, 81, 112, 2592, 7609, 13054, 23088, 46427, ... | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 2, 65, 345, 373, 2073, 4158, 4839, 39701, ... | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 3019, 19719, ... | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 21, 49, 1744, 2901, 6918, 7320, ... | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 2, 4, 16, 29, 47, 142, 352, 4051, 9587, ... | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 965, 2421, 12377, ... | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 9, 41, 51, 109, 483, 42211, ... | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 6, 11, 34, 12239, 12503, 19937, ... | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 3, 7, 9, 19, 29, 99, 145, 623, 3001, 6225, ..., 23163, ... | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 5, 17, 18, 40, 42, 45, 3616, 10441, 13192, 36005, 47825, ... | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 7, 745, 3031, ..., 53125, ... | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 4, 12, 19, 33, 88, 112, 225, 528, 870, 1936, 54683, ... | ||||||||||||||||||||||||||||||
| :: |
References
References
- Weisstein, Eric W.. "Hyperperfect Number".
::callout[type=info title="Wikipedia Source"] This article was imported from Wikipedia and is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 License. Content has been adapted to SurfDoc format. Original contributors can be found on the article history page. ::